【完全版】天才ガロアの発想力 ―対称性と群が明かす方程式の秘密― (知の扉シリーズ)

【完全版】天才ガロアの発想力 ―対称性と群が明かす方程式の秘密― (知の扉シリーズ)の詳細

代数学の教科書は一般的、抽象的な群の定義から始まって、体の定義、体の拡大、体の自己同型写像、正規部分群の定義と話が続いてはガロア理論に行きますが大学生でも途中で挫折するようです。著者小島 寛之（東大数学科卒）でもガロア理論は理解できずだと述懐されていた。ガロア理論において体の拡大を考えるときは常に対応する群を意識せよということ。体を見ながら群を見て、群を見ながら体を見ようという、両方の世界を行ったり来たりする視点をもつことが大事です。ガロア理論では、まず可換体とその代数拡大の理論を展開して、拡大体の中間体と自己同型群の部分群の対応を示すという具合に抽象代数学の話が展開して行きます。最小分解体とは与えられた方程式の解をすべて含む体です。ガロア理論の肝である正規部分群の説明がyou tube動画：群の定義と身近な例［具体例で学ぶ代数学《群論》1］の群論10 剰余群、【代数学♯19】剰余群（正規部分群の解説あり）、第13回『群論のお話'@』「五次方程式が代数的に解けないわけ」「具体的なガロア対応の計算【ガロア理論】」が良くわかる。：【有限次ガロア理論の基本定理】正確にガロア理論の主張を理解しよう【#3 高校生でも分かるガロア理論】環RのイデアルIが極大イデアルである必要十分条件は、剰余環R/Iが単純環になること。正規部分群があれば、元の群をその正規部分群で割ることができ、剰余群を作ることができる。これと同じように、環にイデアルが存在すれば、それで割って剰余環を作ることができます。極大イデアルとは、イデアルの中で一番大きなものですから、それで割ると自明なイデアルしか持たない単純環になります。これは群の自明でない正規部分群のうち、一番大きなもので割ると単純群になることと同じです。5＋3＝3＋5（和）や5×3＝3×5（積）が整数の世界では成り立つので整数環＝可換環と称する、しかし行列の世界では掛け算の順序を変えると成り立たないので行列環＝非可換環である。また行列算では「非可換」である上に「零因子の存在」という特徴がある。体⇒整域⇒可換環という系列をなす。一方「可換環」であるが「零因子の存在」を持つのが法ｍの剰余環である。しかしこれは不思議なことに法ｍが合成数（二つ以上の素因数の積）であれば零因子があるが、ｍが素数ならば零因子は存在せず、整域になる。you tube動画：【代数学#65】標数を見れば。準同形写像とは、写像する前に演算を行った結果が、それぞれ写像する後で行っても、結果が同じになるという写像のこと。（相似形の考え）参考まで内容は可換環（多項式環と整数環の二つ主流）の本です。それはイデアル概念で説明される。偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね！（これがイデアルのイメージ）、他方、奇数を２Ｚ＋1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています。整数全体の集合 Ｚ において、イデアル ２Ｚ(Zの半分の集合） は唯一の数 ２ で生成されている。この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアル（多項式環では凖同型写像の核で登場）という。いま3の倍数の集合で考えると、、差も3の倍数だし、何倍かしても、やはり3の倍数となる。整数環 ｚ で，ある素数 ｐを取ります．ｐ から生成する単項イデアルはＩ＝-3ｐ,-2ｐ,-ｐ,0,p,2p,3p のように ｐ の倍数全体からなる集合[ｐ]になります．確かに，どんな整数もｐ の倍数を掛けたら ｐ の倍数になり，[ｐ] はイデアルになっています。先にyou tube動画 「線型圏の導来同値と被覆理論」浅芝秀人 教授を見れば作用・自己準同型や表現の概念がわかりやすい。多項式の集合についても、整数と同じような性質が成り立つ。多項式の集合 Q[x] も環である 。同じような性質を持つ Z や Q[x] を一般化・抽象化したのが「環」になります。環では、結合律や分配法則など普段私たちが計算をする上で、「当たり前」のことが保証されています。「計算をする上で最低限の規則が保証された集合」と言える。環とは、一言でいえば、「"+" や "*" などを計算をする上で最低限の規則が保証された集合」 のこと。抽象化した環を考えることで、ZやQ[x]などの多くの集合（方程式）について、一括して議論できる。 一旦、環で一般的に証明されたことは、具体例である Z や Q[x] にも適用できます。これが、環を考えることの大きなメリットです。個別に議論しないことで、証明が短く、分かりやすくなります。環論における概念は、特に整数環Zをモデルケースにしたものが基本的であり、例えばイデアルは「倍数」の、剰余環は「余り」の抽象化である。ネットブログ『日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート』⇒「素イデアルの分解法則」の解説がわかりやすい。「ざっくり学ぶ可換環論」も必見です。ガロアは正規部分群による「固有分解」を発見し方程式論を征服した。「固有分解」とは 正規部分群により、群を正規部分群と剰余群の2階建てに分解することで下記の金重明ではイラストで分かりやすく説明されています。ネットへ「Ｇとリンの数学夜話 」剰余類を考える利点は、無限個存在する数を有限個に類別して考察しやすくすることにある。剰余類群（商群）は、群の元を剰余類にグループ分けしたものを元とする群です。you tube動画：今度こそわかるガロア理論（多面体と可解性）や：高校生でも雰囲気だけ分かるガロア理論を見れば本書の流れが一番わかりやすい。巡回群=可換群（アベール群、ガロア群）の場合には右剰余群と左剰余群は常に一致する。また有限群の場合左右の剰余群の個数は同じである。 Ｇを自然数の集合とすると、その元ａのすべての冪ａ^ｎからなる集合をＨとすれば、ＨはＧの部分群である。具体的な例でａ＝3とすれば、その冪はＨ＝｛3,9,27,81,・・｝で部分群。これは巡回群で可換群でもある。数値の3は生成元という。連続的な変換から成る、したがって無限個の元から成る群を扱います。有限生成アーベル群の基本定理というものがある。これは、群Gが有限生成アーベル群であれば、Gは巡回群の直積に分解できるというものである。「体」は拡大していくのに反して、対称性（ガロア群）が縮小していくのが一対一に対応するのを発見した。要するに３つのものの入れ替えが作る群は良い性質を持っているので3次方程式は解けるが５つのものの入れ替えである5次対称群（方程式）はその性質を持っていないために可解群（解けない）でない。やさしい参考書「数学は世界をこう見る」 (PHP新書) 小島 寛之「13歳の娘に語る ガロアの数学」、「方程式のガロア群 深遠な解の仕組みを理解する (ブルーバックス)」金重明「なっとくする群・環・体」野崎昭弘「群・環・体入門」新妻弘「線形代数のコツ」梶原健「本質を学ぶ ガロワ理論最短コース」「図で整理!例題で納得!線形空間入門 」梶原健が超お勧めです。「理工系のためのトポロジー・圏論・微分幾何」谷村省吾著が超お勧めです。you tube動画「京大の数学解いてみた【2012理系第4問】ガロア理論 」「具体的なガロア対応の計算【ガロア理論】」 をまず見よう。正規部分群がもっともわかりやすいのが「3-2. 五次方程式が代数的に解けないわけ - 2015/5/22」の動画です。「abc Conjecture and New Mathematics - Prof. Fumiharu Kato, Oct 7, 2017 」の50分からも見よう。